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Calcul stochastique et Monte-Carlo Geometry Processing

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Pourquoi cette présentation? Monte-Carlo geometry processing -> trop cool mais 2 manières de contribuer: soit par "tricks" monte-carlo, proches des thématiques du rendu, sampling soit par progrès maths -> processus stochastiques/EDP Pourquoi le calcul stochastique?

L'intérêt du calcul stochastique pour la modélisation: Ne serait que par humilité -> très peu probable qu'un modèle décrive exactement un phénomène physique, ajouter du bruit pour modélisation les forces inconnues Par réalisme -> exemple: simulation de comportements d'animaux

Pourquoi ce sujet ?

Je tombe sur un article de Keenan Crane qui parle de MCGP : C'est génial!

  • Je me demande comment contribuer?
    • Soit par l'amélioration de l'approche Monte-Carlo, proche de ce qui se fait en rendu (Control Variate, etc...)
    • Soit par progrès en calcul stochastique/EDP
  • J'achète un bouquin : "Calcul stochastique et modèles de diffusions"
  • Très vite par pur intérêt scientifique:
    • Liens hautement non triviaux pour l'intuition entre Processus aléatoires et résolution d'EDP

Pourquoi le calcul stochastique ?

La modélisation par équation différentielle est vaste mais souhaiter introduire de l'aléatoire est une impulsion naturelle en modélisation:

Très peu de chance que le modèle soit exact, on peut introduire de l'aléa:

  • Par réalisme :
    • Si on simule le comportement d'animaux, même si on peut décrire les influences sur les comportements par des EDO, il y a toujours des comportements erratiques.
  • Par humilité :
    • un peu perdu : on peut introduire du bruit pour prendre en compte les forces qu'on pourrait oublier/négliger.
    • complètement perdu : l'évolution de la bourse est trop imprévisible pour des modèles différentiels.

Qu'est ce que le calcul stochastique ?

  • L'étude des processus aléatoires et de leurs intéractions avec différentes questions d'analyse. Par exemple:

    • Si j'ai une fonction φ et un mouvement brownien (Xt)tR, qu'est ce que je peux dire sur φ(Xt) ?
    • Peut-on coupler la notion d'équation différentielle avec les phénomènes aléatoires ?
    • Outils intéressants pour l'analyse en générale.

Notion de processus stochastique:

Une application est un processus stochastique à valeur dans E indexé par T si

tT,X(t):ωX(t,ω) est une variable aléatoire dans E

Un processus aléatoire est caractérisée par la loi que ses valeurs peuvent prendre, souvent en fonction de t.

Example fondamental : Le mouvement brownien

{B0=0Bt+hBtN(0,h)

Propriétés des processus stochastiques

Beaucoup de caractérisations existent.